10:59
Малоизвестная область математики может помочь раскрыть тайны человеческого восприятия

Как гиперболическая геометрия, некогда считавшаяся математической ересью, может помочь нам понять человеческое восприятие.

Человеческий мозг-это одновременно чудо и загадка эволюции: упакованный в объем примерно в четверть объема надувного футбольного мяча, где-то около 86 миллиардов нейронов образуют сети, которые позволяют нам делать все, от бездумного прокрутки Instagram до безопасной отправки людей в космос. Но более глубокое понимание структуры этих сетей все еще остается открытым вопросом.
Восприятие остается особенно неприятным: как человеческий мозг превращает поток поступающих сигналов — фотонов, молекул запаха, звуковых волн, ощущений на нашей коже — в точную ментальную симуляцию? Какая нейронная сеть может представлять, скажем, запах шоколада?

Недавние исследования показывают, что математика может помочь нам разобраться в этих вопросах. Чтобы лучше аппроксимировать сложные сети, участвующие в восприятии и других когнитивных задачах, некоторые исследователи обращаются к гиперболической геометрии. Как и другие геометрии, это набор правил о пространстве, расстоянии и связях. Но в отличие от Евклидовой геометрии, которую большинство людей изучают (или ненавидят) в средней школе, гиперболическая геометрия описывает, как пространство подходит друг к другу — если пространство искривляется от самого себя, везде.

“Отец геометрии " Евклид. (Кредит: BilwissEdition Ltd. & Co. KG/Alamy)

“Гиперболическая геометрия долгое время недооценивалась в биологии”, - говорит Татьяна Шарпи из Института биологических исследований Солка в Ла-Хойе, Калифорния. В последние два года ее исследования структуры обонятельной системы привели ее к гиперболической геометрии. Но наше обоняние-это только начало; она думает, что те же самые подходы могут быть обобщены на другие чувства и процессы.
Если такие исследователи, как Шарпи, правы, то, чтобы понять разум, мы должны подготовиться к принятию принципов гиперболической геометрии, которые, когда они впервые появились, граничили с ересью для математического мира.
Начало "бездонной ночи"
Мы обычно рассматриваем мир как следующий правилам, составленным более 2000 лет назад “отцом геометрии”, греческим математиком Евклидом, в его трактате "элементы". Эти правила приближаются к плоскому, практическому, физическому миру и полезны в масштабе повседневной жизни. Евклидова геометрия позволила нам пересекать моря, строить небоскребы, гонять на Феррари.

Но возникает проблема с Пятым постулатом Евклида. В своей первоначальной форме он говорит, что если прямая линия пересекает две другие прямые линии, и эти пересечения образуют внутренние углы на той же стороне, которые в сумме составляют менее 180 градусов, то в какой-то момент эти две другие прямые линии должны где-то встретиться. (Большинство из нас знает Пятый более простыми словами: “параллельные линии никогда не встречаются”.) именно из-за пятого постулата мы получаем теорему Пифагора и доказательство того, что углы треугольника суммируются до 180 градусов.
Предполагается, что постулат самоочевиден, но эта история с параллельными линиями задела математиков за живое. Это не выглядело настолько интуитивно убедительным — Евклид даже не использовал Пятый для большинства предложений в элементах. Эти обеспокоенные ученые потратили тысячелетия на борьбу с ним, и, наконец, в начале 19-го века они начали спрашивать: а что, если Пятый не должен держаться?
Этот вопрос изменил все. Они поняли, что нарушение пятого закона Евклида было не просто раздражением. Это были врата в экзотическую новую геометрию, которая все еще была самосогласованной.

Венгерский математик Янош Боляй бросил вызов правилам, изложенным Евклидом более 2000 лет назад. (Кредит: Science History Images/Alamy)
Идея сломать пятую точку Евклида привлекла крупных мыслителей того времени, в том числе Карла Фридриха Гаусса и Николая Лобачевского. Одной из самых замечательных фигур был Янош Боляй, молодой, честолюбивый математик из Венгрии, который был одним из первых, кто создал правила этой новой геометрии. В 1820 году он предпринял радикальный план, чтобы помешать Евклиду. Янош понял, что ослабление пятого постулата Евклида открывает новые возможности для более странных, неевклидовых геометрий.
Его отец, Фаркас, был недоволен, используя язык, который мы не часто слышим от математиков. Или отцов, если уж на то пошло.

“Ради бога, пожалуйста, откажитесь от этого”, - написал Фаркас Яношу.
“Возненавидьте это как непристойное сношение", - продолжалось его письмо. - Это может лишить вас всего вашего досуга, вашего здоровья, вашего отдыха и всего счастья вашей жизни.” Фаркас, сам математик и давний друг Гаусса, заметил, что тот тоже однажды бросил вызов Евклиду. - Я измерил эту бездонную ночь, и весь свет и вся радость моей жизни ушли туда.”
Вот тебе и родительская поддержка. Ничуть не смутившись, Янош принялся разрабатывать правила для того, что мы теперь называем неевклидовой геометрией. В евклидовой геометрии углы треугольника складываются в 180 градусов, а параллельные линии никогда не встречаются. Не так обстоит дело в неевклидовой геометрии. Сферическая геометрия предлагает один пример — если вы нарисуете треугольник на сфере (например, соединяющий Северный полюс с Гонолулу в Майами), сумма углов будет больше 180.
Гиперболическая геометрия-это еще один хорошо известный вид неевклидовой геометрии. Гиперболическая плоскость, плавающая в трех измерениях, не выглядит плоской; она больше похожа на чип Принглса или седло. Она везде изогнута. Если вы стоите на гиперболической плоскости и делаете шаг в одном направлении, вы подниметесь; если вы повернетесь на 90 градусов и сделаете шаг, вы упадете. В гиперболическом пространстве углы треугольника составляют менее 180 градусов.
Извилистые коридоры и Неевклидово видение
Почти забытые исследования, проводившиеся более 100 лет назад, показали, что гиперболическая геометрия может помочь объяснить зрительное восприятие. В 1902 году немецкий ученый Ф. Хиллебранд провел эксперименты в темной комнате, а примерно через 10 лет их повторил В. Блюменфельд, в ходе которых добровольцев просили смотреть прямо перед собой, не отрывая головы. Затем их попросили расположить несколько светящихся огней в параллельных линиях, отходящих от их голов, так, чтобы каждая линия была на одинаковом расстоянии от их прямой видимости. В конце эксперимента должно было показаться, что они смотрят на середину переулка.

В XX веке гиперболическая геометрия стала источником художественного вдохновения: работы голландского художника М. К. Эшера, например, изображают модели гиперболической геометрии. Сегодня математик Дайна Таймина из Корнельского университета следует этой творческой традиции, создавая модели гиперболического пространства, которые можно держать и растягивать. (Кредит: Дайна Таймина)
Но эти эксперименты выявили парадокс: линии, которые добровольцы воспринимали как прямые и параллельные, не были ни тем, ни другим. Вместо этого линии последовательно следовали за кривыми. В 1940-х годах работа немецкого математика Рудольфа Люнебурга, работавшего в Дартмутском глазном институте, помогла объяснить, почему параллельные линии отличаются в восприятии и реальности. Он признал, что с помощью бинокулярного зрения мы воспринимаем трехмерную карту нашего окружения, которая включает в себя как формы, так и расположение вещей вокруг нас. Он задался целью вывести метрику, способ перевода между физической реальностью и тем, что мы видим.
Люнебург и его коллеги пришли к выводу, что правила восприятия не только неевклидовы, но и лучше представлены гиперболической геометрией. Десятилетия спустя, в 1983 году, философ науки Патрик Хилан также доказывал существование гиперболического визуального пространства; Хилан также указывал, что такие художники, как Поль Сезанн, Винсент Ван Гог и Джозеф Мэллорд Уильям Тернер, изображали гиперболические структуры в своих работах.
Геометрия запаха
Сегодня дело не улажено. Исследователи продолжают исследовать структуру сетей восприятия, и некоторые недавние эксперименты показывают, что визуальное пространство действительно неевклидово. В исследовании 2018 года исследователи сообщили, что люди оценивают изображения, созданные с использованием неевклидовой геометрии, как более реалистичные, чем те, которые используют вид Евклидовой перспективы, которую мы добросовестно анализируем в средней школе.
Шарпи говорит, что ночное небо дает убедительные доказательства гиперболического восприятия. Мы видим темный космос как купол, но астрономические расстояния искажены. Дети тянутся к Луне, потому что она выглядит достаточно близко, чтобы дотронуться, отмечает она, но “расстояния сжимаются.”
И это может быть ключом к разгадке гиперболических секретов восприятия: его свойства проявляются только в больших, всеохватывающих масштабах. “Любая криволинейная геометрия в малом масштабе является Евклидовой”, - говорит она. Треугольник, образованный Ньюарком, Нью-Джерси, Нью-Йорком и Наяком, Нью-Йорк, следует евклидовым правилам. -Это согласуется с гипотезой о плоской Земле, - говорит она. - Но если говорить о расстояниях от Нью-Йорка до Лондона и Мельбурна, то это не так.”

Это центральная идея в ее обонятельной карте, которая велика с точки зрения ее сложности. Заманчиво предположить, что молекулы запаха со сходными молекулярными структурами будут восприниматься аналогично. (Это аналогично мышлению, что мы воспринимаем параллельные линии как параллельные.) Но Шарпи обнаружил совсем другое. Она проанализировала химические структуры общих запахов и результаты экспериментов, в которых добровольцев просили сгруппировать похожие запахи вместе.
Ее результаты показывают, что человеческий мозг группирует запахи в соответствии с тем, как часто они встречаются вместе, а не в соответствии с их молекулярным составом. Когда она создала карту этих кластеров запаха, Шарпи обнаружила, что расстояние между аналогично структурированными молекулами лучше всего представить, используя идеи расстояния из гиперболической геометрии, а не Евклидовой. Ее работа показывает, что мы могли бы узнать больше о том, как мозг организует информацию восприятия, если мы подойдем к его организационной структуре как к своего рода искривленному пространству.
Гиперболическая геометрия, эта математика негодяев, также стала полезной за пределами восприятия при моделировании сложных структур мозга. В своей будущей работе физики из Барселоны смоделировали мозговые сети различных видов животных. Они обнаружили, что нейроны не обязательно связываются с ближайшими к ним нейронами в пространстве — чего можно было бы ожидать, если бы Вы искали Евклида — но вместо этого образуют ретрансляционные сети, которые следуют правилам другой, более экзотической геометрии. Гиперболическое пространство “обеспечивает почти идеальные навигационные карты” сети связей в мозге у различных видов, сообщили они. Гиперболическая геометрия, говорят они, предполагает “новую картографию мозга.” Точно так же некоторые ученые-компьютерщики отмечают, что гиперболическая геометрия предлагает привлекательный способ организации больших наборов данных, необходимых для машинного обучения.
“Гиперболическая геометрия-это очень естественный способ представления структурной сложности мозга”, - говорит физик Антуан Аллард из Университета Лаваля в Квебеке, который работал над межвидовым исследованием в то время как постдокторский исследователь в Университете Барселоны.
Неплохо для ренегата математического поля, рожденного бездонной ночью.

Похожие материалы:

Так же рекомендуем посмотреть:

Астрофизики предлагают новый способ обнаружения черных дыр звездной массы


Вакцина против коронавируса: что мы знаем до сих пор-всестороннее руководство академических экспертов


Наполовину самец, наполовину самка певчей птицы, обнаруженной в Пенсильвании

Категория: Тайны / Новости / Гипотеза / Наука | Просмотров: 61 | Добавил: admin | Теги: человеческий мозг, угол треугольника, молекула запаха, гиперболическое пространство, гиперболическая геометрия, Неевклидова геометрия, евклидова геометрия, гиперболическая плоскость | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
avatar